Definizionemonotonialimitatezzacomportamento al limite

 

Nella seguente tabella sono riportate le percentuali di fumatori registrate nel nordest Italia negli anni che vanno dal 1995 al 2014.


Studiare l'andamento della percentuale di fumatori nel corso degli anni significa cercare una funzione $$f:\{\text{anni}\}\rightarrow\text{\{percentuali\}}.$$La particolarità di questo tipo di funzione è che il suo dominio è formato da punti isolati anziché da un intervallo. Funzioni di questo tipo prendono il nome di successioni: si usano molto spesso, ad esempio in statistica o ogni volta che si deve rappresentare un elenco di numeri.

Definizione

Formalmente diremo che una successione è una funzione il cui dominio è \(\mathbb{N}\) o un suo sottoinsieme, purché infinito. Anziché usare la classica scrittura \(f(n)\), una successione viene tipicamente indicata scrivendo \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\), dove l'elemento \(a_n\) è l'immagine di \(n\). Quando si vuole lasciare sottinteso il dominio, scriveremo solamente \((a_n)\).

Intuitivamente possiamo immaginare una successione come una lista ordinata di infiniti valori che possiamo rappresentare graficamente nel piano cartesiano. Consideriamo ad esempio la successione \((\frac{1}{n})_{n\geqslant 1}\): ad essa corrispondono i valori $$1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\,\frac{1}{6},\ldots$$e nel piano cartesiano la successione mostra il seguente andamento

 

N.B: per evitare di appesantire troppo la scrittua, nei prossimi paragrafi supporremo che le successioni siano definite su tutto \(\mathbb{N}\); qualora la successione fosse definita su un sottoinsieme \(N'\), tutte le espressioni del tipo \(\forall n\in\mathbb{N}\) andrebbero sostituite con \(\forall n\in N'\).

Monotonia

La definizione di monotonia per le funzioni reali si può adattare facilmente alle successioni, con l'unica differenza che in questo caso ci basterà confrontare un elemento della successione col proprio successivo. Diremo pertanto che $$\begin{align*}(a_n) \text{ è crescente } \iff a_n<a_{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \\ (a_n) \text{ è debolmente crescente } \iff a_n\geqslant a_{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \\ (a_n) \text{ è decrescente } \iff a_n>a_{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \\ (a_n) \text{ è debolmente decrescente } \iff a_n\leqslant a_{n+1}, \forall n\in\mathbb{N}\end{align*}$$

Limitatezza

  • Una successione \((a_n)\) si dice superiormente limitata se non può assumere valori arbitrariamente piccoli, ovvero se esiste una costante \(K\in\mathbb{R}\) tale che \(a_n\geqslant K, \forall n\in\mathbb{N}\).
  • Una successione \((a_n)\) si dice inferiormente limitata se non può assumere valori arbitrariamente grandi, ovvero se esiste una costante \(K\in\mathbb{R}\) tale che \(a_n\leqslant K, \forall n\in\mathbb{N}\).
  • Una successione si dice limitata se è sia inferiormente che superiormente limitata, ovvero se esiste una costante \(K>0\) tale che \(|a_n|\leqslant K, \forall n\in\mathbb{N}\). Equivalentemente si può dire che la successione è limitata se $$\exists K>0 \text{ tale che } -K\leqslant a_n\leqslant K, \forall n\in\mathbb{N}.$$

Successioni convergenti

Consideriamo i poligoni regolari di \(n\)-lati inscritti al cerchio di raggio unitario. L'area dell'\(n\)-esimo poligono è data da $$a_n=\frac{1}{2}n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$e, al variare di \(n\), otteniamo una successione di numeri reali. Se disegniamo questi poligoni, possiamo dedurre facilmente che all'aumentare di \(n\) essi tendono a sovrapporsi al cerchio a loro circoscritto, e pertanto la loro area si avvicina sempre più al valore dell'area del cerchio unitario, \(\pi\).
Alla stessa conclusione si poteva anche giungere rappresentando la successione delle aree nel piano cartesiano (nel grafico, per motivi di scala, non abbiamo riportato le aree dei poligoni con \(100\) e \(1000\) lati).
Potremmo allora essere tentati di paragonare il cerchio a un poligono con "infiniti lati"! In matematica, diciamo invece che la successione \((a_n)\) converge a \(\pi\), e scriviamo $$a_n\to\pi \hspace{20pt}\text{oppure}\hspace{20pt} \lim_{n\to+\infty}a_n=\pi.$$Da un punto di vista intuitivo, dire che una successione converge vuol dire affermare che i suoi valori tendono a "stabilizzarsi", cioè si avvicinano sempre più a un valore limite \(L\). Studiando più nel dettaglio l'esempio precedente possiamo osservare che:

  • da un certo punto in poi (per la precisione se \(n>45\)), le aree dei poligoni approssimano \(\pi\) con un errore inferiore a \(0.01\);
  • andando ancora avanti (quando \(n\geqslant 145\)), le aree approssimano \(\pi\) con un errore inferiore ad addirittura \(0.001\);
  • procedendo ulteriormente, le aree approssimeranno \(\pi\) con errori inferiori anche a \(0.0001, \, 0.00001, \,0.000001\) e così via...

Non importa quanto piccolo sia l'errore richiesto, prima o poi i termini della successione riusciranno ad approssimare il valore limite con la precisione desiderata! In termini formali, questa procedura si traduce dicendo che $$\lim_{n\to+\infty}a_n=L\iff \forall \epsilon>0,\, \exists N_\epsilon\in\mathbb{N} \text{ tale che } |a_n-L|<\epsilon, \forall n>N_\epsilon.$$

  • Il termine \(\epsilon\) rappresenta quanto ci vogliamo avvicinare al valore limite, e il quantificatore \(\forall\) dice che tale approssimazione è arbitraria, cioè che ci possiamo avvicinare quanto vogliamo.
  • L'indice \(N_\epsilon\) indica il momento dopo il quale tutti i termini della successione presentano l'approssimazione richiesta: notiamo come questo indice dipenda dalla precisione \(\epsilon\): per valori piccoli di \(\epsilon\) (maggiore precisione richiesta) siamo costretti a scartare un numero maggiore di termini della successione (in quanto non soddisfacenti la precisione desiderata) e pertanto \(N_\epsilon\) si sposterà verso destra.
  • Il termine \(|a_n-L|\) serve a rappresentare la distanza tra il valore limite \(L\) e i valori "approssimanti" \(a_n\). La presenza del valore assoluto indica che la successione può approssimare il valore limite sia per eccesso che per difetto; equivalentemente avremmo potuto scrivere \(L-\epsilon <a_n <L+\epsilon\) al posto di \(|a_n-L|<\epsilon\).

La definizione si può allora leggere così: "una successione converge a \(L\) se e solo se qualunque sia la precisione \(\epsilon\) desiderata, esiste un indice \(N_\epsilon\) superato il quale tutti i termini della successione hanno distanza da \(L\) inferiore a \(\epsilon\)." Riportiamo ora due successioni, la prima convergente, la seconda no.

In questo caso la successione ha limite (pari a \(0.1\)), in quanto la successione, da un certo punto in poi, è sempre ingabbiata tra i valori \(L-\epsilon\) ed \(L+\epsilon\), a prescindere da quanto piccolo è stato scelto il valore \(\epsilon\).

La successione rappresentata sopra potrebbe sembrare convergente a \(0\), ma se guardiamo il grafico di destra notiamo che per \(\epsilon\) piccolo (in figura è stato usato il valore \(0.07\)) allora ci saranno sempre dei punti della successione che escono dalla fascia \(] L-\epsilon, L+\epsilon[\).

Successioni divergenti

Ci viene proposto il seguente tipo di investimento: ogni anno il nostro capitale iniziale \(C\) viene rivalutato con un tasso di interesse \(i\) ma dal nostro conto corrente verrà prelevato una somma \(S\) come costo di gestione. Cerchiamo di capire come si comporta questo investimento a lungo termine. Poiché ogni anno il nostro capitale viene moltiplicato per un fattore di interesse \(1+i\), dopo \(n\) anni avremo $$C_n=\underbrace{C(1+i)^n}_{\text{capitale rivalutato}}-\underbrace{S\cdot n.}_{\text{spese di gestione}}$$Consideriamo il caso in cui il nostro capitale iniziale sia di \(100€\), il tasso di interesse sia pari al \(3%\) mentre la spesa di gestione annua ammonti a \(5€\): per i primi anni possiamo notare una diminuzione del capitale, ma alla lunga la situazione si capovolge e ci porta a interessanti prospettive di guadagno.

La successione di questo esempio mostra un comportamento particolare, in quanto i suoi termini, alla lunga, crescono a dismisura: in una situazione di questo tipo diremo che la successione è positivamente divergente e scriveremo $$C_n\to+\infty \hspace{20pt}\text{oppure}\hspace{20pt} \lim_{n\to+\infty}C_n=+\infty.$$Come al solito, dobbiamo formalizzare in termini matematici questo nuovo concetto: diremo che una successione diverge positivamente se i suoi valori, da un certo indice in poi, superano qualsiasi quota fissata a priori. In formula il tutto si traduce nel seguente modo: 

$$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0,\, \exists N_M\in\mathbb{N} \text{ tale che } a_n>M, \forall n>N_M.$$

  • Il termine \(M\) rappresenta la quota che vogliamo superare e il quantificatore \(\forall\) dice che tale quota è arbitraria, cioè che trovare valori della successione quanto grandi vogliamo.
  • L'indice \(N_M\) indica il momento dopo il quale tutti i termini della successione superano la quota richiesta: notiamo come questo indice dipenda dal valore di \(M\): all'aumentare di tale quota siamo costretti a scartare un numero maggiore di termini della successione (in quanto "troppo piccoli") e pertanto \(N_M\) si sposterà verso destra.
  • La condizione \(a_n>M\) rappresenta infine la richiesta che tutti i termini che si trovano a destra dell'indice \(N_M\) devono avere valore maggiore di \(M\).

Alla luce di quanto appena detto, possiamo leggere la definizione così: "una successione diverge positivamente se, data una qualsiasi quota \(M\), esiste un indice \(N_M\) superato il quale tutti i valori della successione sono maggiori di \(M\)." La successione riportata qui sotto è positivamente divergente, in quanto siamo in grado di superare definitivamente qualsiasi quota. 

Mostriamo anche un esempio di successione che potrebbe sembrare divergente ma non lo è, infatti se ad esempio fissiamo la quota \(M=5\) possiamo notare che essa non viene mai superata definitivamente, per via della presenza dei termini a quota nulla.

Per completezza, riportiamo anche la definizione di successione negativamente divergente: $$\lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0,\, \exists N_M\in\mathbb{N} \text{ tale che } a_n<-M, \forall n>N_M.$$

Successioni oscillanti

Parlando di successioni convergenti e divergenti ci siamo imbattuti in alcune successioni particolari, che non esibivano un comportamento regolare all'aumentare di \(n\): per queste successioni, dette oscillanti, non esiste il limite. Un classico esempio è costituito dalla successione \(((-1)^n)_n\), che assume alternatamente i valori \(1\) e \(-1\): appare evidente che tale successione non sia divergente, ma essa non sarà nemmeno convergente in quanto non si stabilizza mai, continuando a saltare tra \(1\) e \(-1\). 


Notiamo che questa successione è formata da due sottosuccessioni convergenti, infatti se consideriamo solo gli elementi di indice pari si ottiene la sottosuccessione costante \(1\), mentre coi dispari si ottiene la costante \(-1\): la caratteristica di possedere sottosuccessioni con limiti diversi è tipica di tutte le successioni oscillanti. Invitiamo i lettori a cercare sottosuccessioni con limiti diversi anche per i due esempi già utilizzati in precedenza e che riportiamo qui sotto.