Introduzione; carattere; serie notevolicriteri di convergenza

Introduzione 

Nel secondo paradosso di Zenone si afferma che Achille non possa raggiungere una tartaruga che parta davanti a lui in una gara di velocità. Nel tempo \(t_1\) impiegato dall'acheo per raggiungere la posizione di partenza \(s_1\) della tartaruga, essa avrà percorso un tratto di lunghezza \(s_2\); Achille impiegherà ora un tempo \(t_2\) per percorrere la distanza \(s_2\), ma nel frattempo la tartaruga si sarà spostata di un ulteriore tratto di misura \(s_3\). Ripetendo questo ragionamento, troviamo infiniti spazi \(s_n\) percorsi da Achille e infiniti tempi \(t_n\) e pertanto la tartaruga non verrà mai raggiunta.

In questo paradosso però non viene tenuto conto che una somma con infiniti addendi può dare come risultato una somma finita, a patto che gli addendi diventino via via sempre più piccoli. Consideriamo ad esempio un quadrato di lato unitario e dividiamolo a metà con una linea verticale. Coloriamo di rosso la metà sinistra e dividiamo ancora a metà la parte destra; come prima, coloriamo di rosso la metà sinistra e dividiamo ancora a metà la parte rimanente a destra...

Al primo passo, l'area colorata in rosso ha valore \(S_1=\frac{1}{2}\), al secondo passo sarà \(S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\), al terzo avremo \(S_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\) e in generale, all'\(n\)-esimo passo sarà $$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{2^n}.$$Procedendo in questo modo senza mai fermarci otteniamo una somma con infiniti addendi, che in realtà rappresenta l'area del quadrato iniziale: possiamo pertanto dire che  $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{2^n}\ldots =1.$$Questo esempio dovrebbe convincerci che una somma con infiniti addendi può dare un risultato finito. Chiameremo questo tipo di somme col termine serie numeriche e in matematica trovano svariate applicazioni (ad esempio, nell'approssimazione di funzioni e segnali).

Formalmente, definiamo una serie numerica come un'espressione del tipo $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n,$$dove \(a_n\in\mathbb{R}\) (o \(\mathbb{C}), \forall n\in\mathbb{N}\). Il motivo per cui abbiamo evitato di definire una serie come una "somma", preferendo il termine "espressione" può essere compreso analizzando i seguenti esempi:

  • la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}n=0+1+2+3+\ldots +n+\ldots$$è formata da termini sempre più grandi e non può convergere a un valore finito; in questo caso la serie non può essere associata a un numero reale come accade invece per una normale somma;
  • la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n=1-1+1-1+1-\ldots$$non ha un comportamento ben definito, in quanto oscilla continuamente tra i valori \(1\) e \(0\). 

Se immaginiamo i termini \(a_n\) come i passi che compie una persona e diamo alla serie il significato di punto di arrivo, possiamo dire che nel primo esempio la persona avanza "fino all'infinito", mentre nel secondo caso non è proprio possibile individuare un punto finale. 

Carattere di una serie

Come abbiamo appena visto, non è quindi possibile vedere le serie come delle semplici somme; fortunatamente però, modificando leggermente il nostro approccio, potremo studiare le serie attraverso le successioni. Data una serie, definiamo infatti la somma parziale \(n\)-esima \(S_n\) come $$S_n=\sum_{k=0}^{n}a_k=a_0+a_1+a_2+\ldots +a_n.$$Il cambio di indice (da \(n\) a \(k\)) è necessario in quanto \(n\) viene già utilizzata per indicare l'indice finale della sommatoria. La somma parziale, essendo finita, è una vera e propria somma, e pertanto ad essa corrisponde un numero reale (indicato appunto con \(S_n\)): facendo variare \(n\) otteniamo la seguente successione di somme parziali \((S_n)_n\):$$\begin{align*}&S_0=a_0 \\&S_1=a_0+a_1 \\ &S_2=a_0+a_1+a_2 \\ &\hspace{5pt}\vdots\\&S_n=a_0+a_1+a_2+\ldots +a_n \\ &\hspace{5pt} \vdots
\end{align*}$$Possiamo quindi definire la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) come il limite della successione \((S_n)_n\), distinguendo tre casi:

  • se \(\lim_{n\to+\infty}S_n\) esiste ed ha un valore finito \(S\), diciamo che la serie è convergente e ha somma \(S\);
  • se \(\lim_{n\to+\infty}S_n\) esiste e vale \(+\infty\) (o \(-\infty\)), diciamo che la serie è positivivamente (o negativamente) divergente;
  • se \(\lim_{n\to+\infty}S_n\) non esiste, diciamo che la serie è indeterminata.

Applichiamo queste definizioni agli esempi presentati precedentemente e verifichiamo che questi rappresentano rispettivamente una serie convergente, divergente e indeterminata.

  • Per iniziare riprendiamo l'esempio del quadrato unitario che viene diviso a metà infinite volte: ad esso è associata la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\), le cui somme parziali sono espresse dalle aree colorate di rosso. Possiamo calcolare queste aree facendo la differenza tra l'area del quadrato e l'area della parte rimasta bianca: la parte bianca coincide con l'ultimo rettangolino colorato di rosso, ovvero ha valore \(\frac{1}{2^n}\), pertanto le somme parziali valgono $$S_n=1- \frac{1}{2^n}$$ e il loro limite vale $$S=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1-\frac{1}{+\infty}=1.$$
  • Consideriamo ora la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}n\), le cui somme parziali hanno la forma $$S_n=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$Per spiegare l'ultima uguaglianza disegniamo dei rettangoli di base unitaria e altezza variabile, da \(1\) a \(n\); questi rettangoli, uniti, formano metà di un rettangolo di base \(n\) e altezza \(n+1\), come si può vedere nella figura sottostante.

    Facendo ora tendere \(n\) a \(+\infty\) è immediato verificare che \(S_n\) diverge positivamente e pertanto tale sarà anche il carattere della serie.
  • Occupiamoci infine della serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\): in questo caso le somme parziali determinano la successione $$\begin{align*}&S_0=1 \\&S_1=1-1=0 \\ &S_2=1-1+1=1 \\&S_3=1-1+1-1=0 \\ &\hspace{5pt}\vdots\\&S_n=\begin{cases}1 \hspace{20pt}\text{ se \(n\) pari} \\ 0 \hspace{20pt}\text{ se \(n\) dispari}\end{cases} \end{align*}$$
    che non ha limite, essendo formata da due sottosuccessioni con limiti diversi (una di valore costante \(1\) e l'altra costantemente uguale a \(0\)).

Serie notevoli

Tra tutte le serie esistenti, ci sono due categorie in particolare che meritano una menzione a parte, le serie geometriche, le armoniche e le telescopiche. Per ora ci limitiamo a riportarne il carattere senza dimostrazioni, di cui ci occuperemo nella lezione approfondimento serie.

  • Dato un numero reale \(x\), chiamiamo serie geometrica di ragione \(x\) la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}x^n =1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots $$La serie geometrica converge per ogni valore di \(x\) appartenente all'intervallo \(]-1,1[\) e in tal caso ha somma $$S=\frac{1}{1-x}.$$Per \(x\geqslant 1\) la serie geometrica diverge mentre se \(x\leqslant 1\) la serie risulta indeterminata.
  • Chiamiamo serie armonica la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots $$e, più in generale, chiamiamo armoniche generalizzate le serie del tipo $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}, \forall\alpha\in\mathbb{R}.$$Le serie armoniche convergono per \(\alpha>1\) e divergono altrimenti.
  • Una serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) si dice telescopica se esiste una successione \((b_n)_n\) tale che $$a_n=b_n-b_{n+1}.$$Una serie telescopica converge se e solo se esiste finito $$L=\lim_{n\to+\infty}b_n;$$ la somma della serie sarà \(S=b_0-L\). Se la successione \((b_n)_n\) è divergente o indeterminata, tale sarà anche il carattere della serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\).

In generale determinare il carattere di una serie è tipicamente parecchio impegnativo, in quanto di solito non siamo in grado di scrivere le somme parziali \(S_n\) in funzione del solo indice \(n\). Diventa quindi necessario trovare delle strade alternative per studiare il carattere di una serie e nei prossimi paragrafi ci occuperemo proprio di descrivere alcuni di questi metodi di indagine. 

Condizione necessaria per la convergenza

Se \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) una serie convergente con somma \(S\), allora il suo termine generale \(a_n\) deve essere infinitesimo, ovvero $$\lim_{n\to+\infty}a_n=0.$$Per convincerci di questo fatto basta osservare che \(a_n=S_n-S_{n-1}\) e passare al limite:$$\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}(S_n-S_{n-1})\stackrel{*}{=}\lim_{n\to+\infty}S_n-\lim_{n\to+\infty}S_{n-1}=S-S=0,$$dove l'uguaglianza indicata con l'asterisco è resa possibile dai teoremi sui limiti finiti. Notiamo comunque che la condizione presentata è necessaria ma non sufficiente, infatti $$S_n \to S \Rightarrow a_n\to 0 \text{ ma } a_n\to 0\nRightarrow S_n\to S.$$Ricordiamo infatti la serie armonica, che non converge pur avendo termine generale \(a_n=\frac{1}{n}\) infinitesimo.

Un'applicazione di questa condizione si ha osservando ad esempio la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n+1}\): poiché il termine generale di questa serie tende a \(1\), senza fare ulteriori calcoli possiamo già escludere che la serie converga.

I prossimi criteri che analizzeremo (confronto, confronto asintotico, rapporto, radice) sono validi solo per serie a termini positivi (o definitivamente positivi), quindi nei prossimi paragrafi ipotizzeremo che \(a_n>0, \forall n\) o che \(\exists N\in\mathbb{N}\) tale che \(a_n>0, \forall n>N\).

Criterio del confronto

Siano \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) e \(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\) due serie a termini (definitivamente) positivi e supponiamo che \(a_n\geqslant b_n,\forall n\) (oppure definitivamente, cioè per \(n\) sufficientemente grande). Allora 

  1. se \(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\) diverge, anche \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) diverge;
  2. se \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) converge, anche \(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\) converge.

Il significato di questo criterio è abbastanza intuitivo: se la serie formata dai termini più piccoli diverge, a maggior ragione quella formata dai termini maggiori diverge; vicerversa, se la serie formata da termini più grandi converge, quella formata da termini più piccoli deve convergere.

Consideriamo ad esempio la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log n}{n}\). Questa serie è a termini definitivamente positivi in quanto $$a_n=\frac{\log n}{n}>0,\, \forall n>1,$$inoltre i termini della serie sono definitivamente maggiori di \(b_n=\frac{1}{n}\): $$\log n>1,\, \forall n>2\Rightarrow \frac{\log n}{n}>\frac{1}{n},\, \forall n>2.$$

 

La serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log n}{n}\) deve allora divergere, in quanto "maggiore" della serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\), che sappiamo essere divergente. In un altro grafico mostriamo invece l'andamento delle somme parziali delle due serie utilizzando stavolta degli istogrammi per rendere il confronto visivamente più chiaro: l'altezza di ciascun rettangolo rappresenta una somma parziale.
Il motivo per cui la serie coi logaritmi parte "sotto" la serie armonica deriva dal fatto che il primo termine della serie coi logaritmi è \(0\), mentre la serie armonica ha come primo addendo \(1\): a lungo andare però si può notare come le somme parziali della prima serie superino quelle della seconda.

Studiamo ora la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos^2n}{n^2}\), anch'essa ovviamente a termini positivi. Sapendo che per ogni numero reale \(x\) vale la disuguaglianza \(\cos^2x\leqslant 1 \), concludiamo che i termini della serie in esame sono minori di quelli della serie armonica generalizzata \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\). Ricordando il carattere della serie armonica generalizzata segue che $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}<+\infty,\, \forall\alpha>1\Rightarrow  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}<+\infty\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos^2n}{n^2}<+\infty.$$Per completezza, riportiamo anche in questo caso i grafici delle somme parziali:

Criterio del confronto asintotico

Spesso risulta difficile stimare i termini di una serie con quelli di un'altra serie di cui è noto il carattere. pertanto ci farebbe comodo avere un criterio simile, ma più elastico. Nel caso specifico, il criterio del confronto asintotico fa al caso nostro: date due serie a termini (definitivamente) positivi \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) e \(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\), se il limite $$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n} \text{ esiste ed è finito,}$$ allora le due serie hanno lo stesso carattere. Prendiamo ad esempio la serie di termine generale \(a_n=\frac{n}{n^2+1}\) e applichiamo il confronto asintotico con la solita serie armonica: $$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{n}{n^2+1}}{\frac{1}{n}}= \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}\cdot\frac{n}{1}= \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}=1.$$La serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1}\) ha quindi lo stesso carattere della serie armonica, e quindi diverge. 

Questo criterio è particolarmente utile ogni qualvolta bisogna studiare una serie che abbia come termine generale una funzione razionale, ovvero un rapporto tra polinomi \(\frac{P(n)}{Q(n)}\): è infatti sufficiente confrontare la serie con $$\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}, \text{  dove  }\alpha =\deg Q- \deg P$$e ricordare che le armoniche generalizzate convergono se \(\alpha>1\) e divergono se \(\alpha\leqslant 1\).

Criterio del rapporto e criterio della radice

Il criterio del rapporto dice che data una serie a termini positivi \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\): $$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \text{ converge} \\ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \text{ diverge}$$Il criterio non è però in grado di fornire alcuna risposta quando il limite vale \(1\).

Il criterio della radice è molto simile e, sotto le stesse ipotesi, afferma che $$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}<1\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \text{ converge} \\ \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \text{ diverge}$$Anche in questo caso non siamo in grado di concludere niente nel caso in cui limite valga \(1\); vista la somiglianza tra i due criteri, abbiamo deciso di proporli assieme, uno di seguito all'altro.

Applichiamo ad esempio il criterio del rapporto alla serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\): $$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)!}\cdot n!= \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0<1,$$e pertanto tale serie converge. Per esercizio, si può provare a dimostrare la convergenza della serie anche col criterio del confronto.

Vediamo anche un'applicazione del criterio della radice, analizzando la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}(n^\frac{1}{n}-1)^n\). Ricordando il limite notevole \(\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1\), abbiamo che $$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{(n^\frac{1}{n}-1)^n}=\lim_{n\to+\infty}(n^\frac{1}{n}-1)=1-1=0<1,$$quindi anche questa serie converge.

Serie a segni alterni e criterio di Leibniz

Finora tutti i criteri studiati erano validi solo per serie a termini positivi. In questo paragrafo ci occupiamo invece di serie a segni alternati, ovvero serie della forma $$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\ldots,$$dove i termini \(a_n\) sono (definitivamente) positivi. I criteri studiati per le serie a termini positivi non sono più validi, ma possiamo usufruire del criterio di Leibniz: $$\begin{cases} (a_n)_n \text{ (definitivamente) decrescente}\\ \lim_{n\to+\infty}a_n=0\end{cases}\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n \text{ converge.}$$Questo criterio fornisca una condizione sufficiente ma non necessaria alla convergenza, infatti se l'ipotesi di monotonia per la successione \((a_n))_n\) venisse a mancare allora non potremmo dire nulla sulla convergenza della serie.

Proponiamo ora un esempio di applicazione del criterio di Leibniz studiando la serie armonica alternata $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.$$In questo caso abbiamo \(a_n=\frac{1}{n}\) e risulta quindi immediato verificare che sono soddisfatte tutte le ipotesi del criterio di Leibniz: $$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \,\forall n\geqslant 1 \\
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.
\end{array}
\right.
\end{align*}$$Di conseguenza, la serie armonica alternata converge! Lo stesso ragionamento si può applicare anche alle serie armoniche alternate generalizzate ottenendo che $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha} \text{ converge } \forall \alpha>0.$$

Proponiamo due rappresentazioni grafiche delle somme parziali della serie armonica alternata: la prima, probabilmente più complessa, consiste di colorare di rosso i rettangoli (in rosso) che rappresentano addendi positivi e di cancellare invece i rettangoli (indicati in rosa) relativi agli addendi negativi.


Probabilmente di più facile lettura è invece la seguente rappresentazione tramite istogramma, dove ogni rettangolo rappresenta con la propria altezza una delle somme parziali. Per quanto detto prima, l'altezza di questi rettangoli converge a un valore finito (per la precisione a \(\log 2\)).

Mentre per le serie a termini positivi la convergenza è possibile solo se \(a_n\) tende a \(0\) "abbastanza rapidamente", per le serie a segni alterni \(a_n\) può tendere a \(0\) quanto lentamente vogliamo, a patto però che sia rispettata anche la condizione di monotonia.

Convergenza assoluta

Un ulteriore criterio per stabilire la convergenza di una serie a segni alterni consiste nello studiarne la convergenza in senso assoluto: diciamo che una serie (i cui termini possono avere segno qualsiasi) \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) converge assolutamente se \(\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|\) converge. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice e può essere verificata con i criteri che abbiamo descritto precedentemente per le serie a termini positivi.

Analizziamo la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^n}{n!}\): applicare il criterio di Leibniz non è facilissimo, in quanto la condizione di monotonia richiede la risoluzione della disequazione trascendente $$\frac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!}>\frac{(-2)^n}{n!}.$$Proviamo allora a studiare la convergenza assoluta: applicando il modulo ad ogni termine otteniamo la nuova serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|\frac{(-2)^n}{n!}\right|=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n}{n!}$$che può essere studiata col criterio del rapporto. $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=  \lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n+1}=0,$$pertanto la serie dei moduli converge e di conseguenza anche la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^n}{n!}\) converge.

Nella figura sottostante riportiamo l'andamento dei termini generali e delle somme parziali per entrambe le serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^n}{n!}\) e \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n}{n!}\).