Interattività su un problema di ottimizzazione

 

Nella lezione introduttiva alle derivate abbiamo presentato il seguente problema: "Un paravento è formato da tre ante rettangolari uguali tra loro. Come disporre il paravento in modo che esso racchiuda il massimo spazio possibile?

Il grafico interattivo sottostante ci permette di studiare il problema modificando in tempo reale la configurazione del paravento, ruotando l'anta di sinistra. 

Dopo aver fatto qualche tentativo, ci rendiamo conto che il massimo volume viene raggiunto nei pressi del valore \(\alpha=60^\circ\): adesso vedremo per via analitica che quella dedotta è proprio la soluzione corretta. Per cominciare esprimiamo il volume racchiuso dal paravento in funzione dei parametri del problema. 

Osservando il paravento in pianta ci accorgiamo subito che esso assume la forma di un trapezio isoscele, con base minore e lati obliqui di misura \(l\). Usando la trigonometria troviamo che la base maggiore e l'altezza dipendono dall'angolo \(\alpha\), e valgono rispettivamente \(l\sin\alpha\) e \(l+2l\cos\alpha\).

Grazie a queste considerazioni, l'area del trapezio può essere scritta in funzione di \(\alpha\) come $$A(\alpha)=\frac{(l+l+2l\cos\alpha)\cdot l\sin\alpha}{2}=l^2(1+\cos\alpha)\sin\alpha.$$Per trovare il volume basta moltiplicare l'area per l'altezza \(h\); $$V(\alpha)=l^2(1+\cos\alpha)\sin\alpha\,h.$$Arrivati a questo punto, osservando che \(l\) e \(h\) sono costanti e usando la regola di derivazione del prodotto, calcoliamo la derivata della funzione volume: $$V'(\alpha)=l^2h[(0-\sin\alpha)(\sin\alpha)+(1+\cos\alpha)\cos\alpha]=l^2h[-\sin^2\alpha+\cos\alpha+\cos^2\alpha]\\=l^2h[2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1].$$Studiamo ora il segno della derivata, risolvendo la disequazione $$l^2h[2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1]\geqslant 0.$$ Le costanti \(l\) e \(h\) sono positive e pertanto possiamo non considerarle, inoltre col cambio di variabile \(t=\cos \alpha\), la disequazione si riduce alla forma $$2t^2+t-1\geqslant 0\Rightarrow t\leqslant -1 \vee t\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow t\leqslant -1 \vee t\geqslant \frac{1}{2}.$$Le soluzioni della disequazione sono $$\alpha=\pi+k\pi \vee -\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant \alpha\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi.$$

Data la natura geometrica del problema che stiamo analizzando, a noi interessano solo valori di \(\alpha\) compresi tra \(0\) e \(\frac{\pi}{2}\), per cui possiamo scrivere che $$V'(\alpha)\geqslant 0\iff 0\leqslant\alpha\leqslant  \frac{\pi}{3}.$$

Abbiamo determinato che il volume è massimo in corrispondenza di \(\alpha=\frac{\pi}{3}\), ovvero quando le ante formano un angolo di \(60^\circ\) con la parete. Se vogliamo trovare il volume massimo basta sostituire il valore \(\frac{\pi}{3}\) in \(V(\alpha)\): $$V_{MAX}= l^2h(1+\cos\frac{\pi}{3})\sin\frac{\pi}{3}=lh^2\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}=lh^2\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$