monotonia; punti di max/min; teorema di de l'Hopitalderivate successive

 

Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di derivata e le regole che ne permettono il calcolo ma non abbiamo ancora mostrato l'utilità pratica di questo strumento. In questa lezione, vedremo come utilizzare il concreto il concetto di derivata e nella risoluzione di problemi ed esercizi. 

Segno della derivata e monotonia 

Ricordando l'interpretazione geometrica della derivata come coefficiente angolare della retta tangente, è facile intuire che il segno della derivata di una funzione è strettamente legato alla monotonia della funzione stessa. La retta tangente infatti approssima localmente la funzione e pertanto se tale retta è crescente \((m>0)\) ci aspettiamo che la funzione abbia un comportamento analogo. Il seguente teorema esplicita il legame tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata:

Se \(f(x)\) è una funzione derivabile su un intervallo \(I\) e \(f'(x)>0\,\forall x\in I\), allora \(f(x)\) è crescente in \(I\).

In altre parole, \(f\) è localmente crescente in tutti i punti dove la derivata è positiva e analogamente è localmente decrescente in tutti i punti con derivata negativa.

Massimi e minimi

Per completare il ragionamento iniziato nel paragrafo precedente, ci resta da analizzare cosa succede nei cosiddettipunti critici o stazionari, ovvero quei punti in cui la derivata si annulla. In questo caso la retta tangente ha pendenza nulla e quindi è una retta orizzontale: si possono verificare i seguenti tre casi

  • se \(f\) è concava, allora abbiamo un punto di massimo;
  • se \(f\) è convessa, allora abbiamo un punto di minimo;
  • se \(f\) è concava a sinistra del punto e convessa alla sua destra (o viceversa), allora abbiamo un punto di flesso

Il legame tra punti di massimo e minimo e derivata è riassunto dal teorema di Fermatse \(f\) è una funzione derivabile in un intervallo chiuso \(]a,b[\) e \(x_0\in]a,b[\) è un punto di massimo (o minimo) per \(f\), allora \(f'(x_0)=0\). 

Grazie al teorema di Fermat, la risoluzione dell'equazione \(f'(x)=0\) avrà un ruolo centrale nello studio di problemi di massimo e minimo. Tuttavia risolvere tale equazione non è sufficiente, in quanto si possono verificare i seguenti problemi:

  • ci possono essere punti di massimo e minimo che non soddisfano la condizione \(f'(x)=0\) (ad esempio punti agli estremi del dominio o punti di non derivabilità);
  • data una soluzione dell'equazione \(f'(x)=0\) non possiamo stabilire se il punto trovato sia un massimo, un minimo o addirittura un flesso. 

Per ovviare a questi inconvenienti, invece che limitarci a studiare l'equazione \(f(x)=0\), risolveremo la disequazione $$f(x)\geqslant 0:$$con questo accorgimento riusciremo a stabilire facilmente la natura dei punti critici e a studiare il comportamento di \(f\) agli estremi del dominio e nei punti di non derivabilità. Mettiamo alla prova quanto appena detto con un paio di esempi: per cominciare, cerchiamo massimo e minimo della funzione \(f(x)=|x|\) ristretta all'intervallo \([-1,2]\). La derivata della funzione valore assoluto ha legge $$|x|'=\begin{align}\left\{\begin{array} 1 \text{se \(x>0\)} \\ -1 \text{se \(x<0\)}$$mentre non è definita in \(x=0\). L'equazione \(f'(x)=0\) è priva di soluzione e pertanto non ci permette di trovare alcun risultato ma se studiamo la disequazione \(f'(x)\geqslant 0\) troviamo immediatamente che essa è soddisfatta per ogni \(x\) positiva.

Deduciamo allora che la funzione ha un minimo (assoluto) in \(x=0\) e due massimi, rispettivamente in \(x=-1\) e in \(x=2\). Confrontando i due massimi, ovvero $$MAX_1=f(-1)=|-1|=1 \\ MAX_1=f(2)=|2|=2$$deduciamo che il punto \(x=-1\) è un punto di massimo locale mentre \(x=2\) è un punto di massimo assoluto. 

Come secondo esempio, studiamo i massimi e minimi della funzione \(f(x)= \frac{x^4}{4}-\frac{5}{3}x^3+4x^2-4x+1\). Grazie alle regole di derivazione delle potenze ricaviamo la derivata: $$f'(x)=x^3-5x^2+8x-4.$$Applicando la regola di Ruffini, troviamo che i punti critici di \(f\) sono \(x=1\) e \(x=2\) ma non sappiamo se siano punti di massimo, minimo o flesso. Passiamo allora alla disequazione \(x^3-5x^2+8x-4\geqslant 0\), che sempre con la regola di Ruffini può essere riscritta come $$(x-1)(x-2)^2\geqslant 0.$$

Studiando i segni dei singoli fattori ci accorgiamo che la derivata è positiva in entrambi gli intervalli \(]1,2[\) e \(]2.\+infty[\), pertanto il punto critico \(x=2\) sarà un punto di flesso. Di contro, nell'intervallo \(]-\infty,\[\) la derivata è negativa, quindi possiamo dire che il punto critico \(x=1\) sarà un punto di minimo (assoluto). La funzione non presenta invece massimi, ma calcolando i limiti per \(x\) tendente a \(\pm\infty\) è facile verificare che il suo estremo superiore sia \(+\infty\).

Regola di de l'hôpital

Un'altra applicazione molto utile delle derivate consiste nella risoluzione di limiti che si presentano in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\). Consideriamo ad esempio il limite per \(x\) tendente a \(5\) della funzione \(\frac{x^2-25}{x^2-5x}\): il limite si presenta in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) ma se guardiamo il grafico della funzione possiamo vedere che il limite esiste e vale \(2\).

Per risolvere la forma indeterminata, ricordiamo che vicino al punto \(x_0=5\) il numeratore e il denominatore possono essere approssimati con le rispettive rette tangenti, che hanno equazione \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). Le approssimazioni che otteniamo sono quindi $$x^2-25\approx 0+10(x-5)\\ x^2-5x\approx 0+5(x-5)$$

Se proviamo a calcolare il limite usando le approssimazioni abbiamo $$\lim_{x\to 5}\frac{10(x-5)}{5(x-5)}=\frac{10}{5}=2,$$come ci aspettavamo dal grafico mostrato in precedenza.

ATTENZIONE!! Il risultato che abbiamo ottenuto non è stato giustificato in modo rigoroso, ma solo in modo intuitivo. L'idea che ci ha permesso di calcolare il limite può però essere formalizzata tramite i seguenti teoremi, detti anche regole di de l'hôpital.

I regola di de l'hôpital: siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni e sia \(x_0\) (finito o infinito) un punto di accumulazione per i domini di \(f\) e \(g\). Se 

  • esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale che \(f\) e \(g\) sono derivabili in \(U\), con \(g'(x)\neq 0,\forall x\in U\setminus\{x_0\}\);
  • \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\);
  • esiste \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\);

allora \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\) esiste e vale anch'esso \(L\).

II regola di de l'hôpital: siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni e sia \(x_0\) (finito o infinito) un punto di accumulazione per i domini di \(f\) e \(g\). Se 

  • esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale che \(f\) e \(g\) sono derivabili in \(U\), con \(g'(x)\neq 0,\forall x\in U\setminus\{x_0\}\);
  • \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\);
  • esiste \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\);

allora \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\) esiste e vale anch'esso \(L\).

Le regole di de l'hôpital valgono solo per le forme indeterminate \(\frac{0}{0}\) e \(\frac{\infty}{\infty}\) ma possono essere utilizzate anche per le altre forme, a patto di riuscire con delle manipolazioni algebriche a ricondurle a una delle due forme sopra citate, come nei seguenti esempi.

  • il limite \(\lim_{x\to-\infty}xe^x\) si presenta in forma indeterminata \(0\cdot \infty\) ma usando le proprietà delle potenze può essere riscritto come \(\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{-x}}\). Ci siamo ricondotti alla forma \(\frac{\infty}{\infty}\) e pertanto possiamo applicare la II regola di de l'hôpital: $$\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{-x}}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{e^{-x}(-1)}=\frac{1}{e^{+\infty}(-1)}=\frac{1}{+\infty}=0.$$
  • il limite \(\lim_{x\to+\infty}(x^2-\log x)\) si presenta in forma indeterminata \(+\infty- \infty\). Se raccogliamo il termine \(x^2\) otteniamo \(\lim_{x\to+\infty}x^2(1-\frac{\log x}{x^2})\): la frazione che abbiamo creato genera una forma indeterminata del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), e pertanto possiamo calcolarne il limite tramite regola di de l'hôpital $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x^2}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0.$$Possiamo usare il risultato appena calcolato nel limite di partenza: $$\lim_{x\to+\infty}(x^2-\log x)=\lim_{x\to+\infty}x^2\left(1-\frac{\log x}{x^2}\right)=+\infty(1+0)=+\infty.$$
  • il limite \(\lim_{x\to0^+}(1+\sin x)^\frac{1}{x}\) si presenta in forma indeterminata \(1^\infty\). Usando le proprietà dei logaritmi la funzione all'interno del limite diventa \(e^{\log(1+\sin x)^\frac{1}{x}}=e^\frac{\log(1+\sin x)}{x}\): l'esponente presenta una forma indeterminata del tipo \(\frac{0}{0}\) perciò possiamo usare la I regola di de l'hôpital per calcolare il limite dell'esponente $$\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+\sin x)}{x}\stackrel{H}{=} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{1+\sin x}\cdot\cos x}{1}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{1}{1+0}=1\\ \Rightarrow \lim_{x\to0^+}(1+\sin x)^\frac{1}{x}=\lim_{x\to0^+}e^{\log(1+\sin x)^\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+\sin x)}{x}}=e^1=e.$$

Derivata seconda e derivate successive

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto il legame tra lo studio di massimi e minimi di una funzione e la ricerca di zeri per la derivata della funzione stessa. A volte, l'equazione \(f'(x)=0\) può essere troppo complicata da risolversi analiticamente e pertanto l'analisi si fermerà al punto di vista qualitativo. La continuità (vedi funzioni continue) è una proprietà molto utile per studiare sia segno ed esistenza degli zeri di una funzione, dunque risulta essere una proprietà estremamente importante anche per le funzioni derivate; chiameremo di classe \(C^1\) le funzioni con derivata continua e indicheremo il loro insieme scrivendo $$C^1(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}|f \text{ è continua, derivabile, e ha derivata continua}\}. $$La continuità della derivata è utile per stabilire l'esistenza di soluzioni per l'equazione \(f'(x)=0\) ma tipicamente non è sufficiente per valutare il numero effettivo delle soluzioni. A tal proposito ci farebbe comodo studiare la monotonia della funzione derivata \(f'\) e ciò comporta il calcolo della derivata di \(f'\), che verrà detta derivata seconda. Richiamando la definizione di derivabilità, diremo che \(f'\) è derivabile due volte in \(x_0\) se $$\lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}\text{ esiste ed è finito}$$e indicheremo il valore di tale limite con uno dei simboli $$f''(x_0) \hspace{10pt} \frac{d^2f}{dx^2}(x_0) \hspace{10pt} D^2f(x_0).$$

Data una funzione \(f\), sappiamo che la sua derivata \(f'\) esprime la velocità con cui \(f\) cambia valore e, in modo analogo, la funzione \(f''\) misura la rapidità con cui cambia valore la derivata prima \(f'\): se prendiamo in prestito il linguaggio della fisica, le variazioni di velocità sono associate al concetto di accelerazione e potremmo quindi tracciare il seguente parallelo $$f\mapsto \text{ posizione } s \\ f'\mapsto \text{ velocità } v \\ f''\mapsto \text{ accelerazione } a.$$Da un punto di vista analitico invece possiamo dare alla derivata seconda un'ulteriore interpretazione. Consideriamo una funzione \(f\) e supponiamo che la sua derivata prima sia costante: le rette tangenti al grafico \(f\) avranno allora tutte la stessa pendenza e pertanto il grafico di \(f\) sarà a sua volta una retta. Supponiamo ora invece che la derivata prima cambi valori, ad esempio che sia crescente: in questo caso, le rette tangenti avranno pendenza via via maggiore, dando al grafico di \(f\) una curvatura "verso l'alto".

Il legame tra segno della derivata seconda e curvatura del grafico è formalizzato dal seguente teorema: 

Se \(f(x)\) è una funzione derivabile due volte su un intervallo \(I\) e \(f''(x)>0\,\forall x\in I\), allora \(f(x)\) è convessa in \(I\).

Notiamo che grazie alla convessità è possibile studiare la natura dei punti critici anche senza studiare il segno della derivata prima, come si può vedere dal seguente grafico. 

Come abbiamo fatto all'inizio di questo paragrafo, può essere interessante studiare la continuità e la derivabilità della derivata seconda, arrivando così a definire la derivata terza, quarta, quinta, ecc. In scienza delle costruzioni, ad esempio, il taglio e il momento e il carico agenti su una trave sono definiti per mezzo della derivata seconda, terza e quarta della deformazione trasversale \(v(z)\).

Analogamente a quanto fatto per l'insieme \(C^1(\mathbb{R})\), definiamo gli insiemi \(C^2(\mathbb{R})\), \(C^3(\mathbb{R})\), e così via: in generale diremo che l'insieme  \(C^k(\mathbb{R})\) è lo spazio delle funzioni continue, derivabili almeno \(k\) volte, con tutte le derivate fino a quella di ordine \(k\) continue. Si può inoltre definire anche l'insieme  \(C^\infty(\mathbb{R})\) come lo spazio delle funzioni derivabili infinite volte, con tutte le derivate continue. Tutte le funzioni elementari e le loro combinazioni sono di classe  \(C^\infty\), una volta esclusi i punti di non derivabilità che abbiamo trattato nella prima lezione sulle derivate.