Esercizi di ripasso scritti appositamente per i ragazzi che frequentano il corso di azzeramento di matematica per gli indirizzi del settore agroalimentare.

 

In questa pagina ci sono alcuni esercizi utili a ripassare i concetti spiegati in aula durante il corso di azzeramento in matematica. Vicino agli esercizi ho inserito dei link che rimandano alle spiegazioni teoriche dei vari argomenti. Oltre agli esercizi presenti in questa pagina, gli studenti possono anche esercitarsi con questo fac-simile della prova del 2015 e, per l'appunto, con le verifiche assegnate nel 2015, nel 2016 e nel 2017, scaricabili qui qui e qui.

 APPUNTI ONENOTE:

GRUPPO A

GRUPPO B

Esercizi sugli insiemi

Rappresentare sulla retta reale le seguenti coppie di insiemi, e successivamente determinarne unione e intersezione: $$A=\{1,2,3\}, \hspace{30pt} B=\{\pm 1\} \\ A=\{-1,1,2\}, \hspace{30pt} B=[-1,1[ \\ A=\mathbb{N}, \hspace{30pt} B=[-\infty,5[ \\ A=]-\infty,0], \hspace{30pt} B=]0,+\infty[ \\ A=[-2,4[, \hspace{30pt} B=]4,6] \\ A=[1,2], \hspace{30pt} B=\left[\frac{3}{2},3\right] \\ A=\left]\frac{1}{5},\frac{2}{3}\right[, \hspace{30pt} B=\left[\frac{3}{14},\frac{2}{3}\right] \\ A=]-\infty,-2[\cup[\sqrt{3},10[, \hspace{30pt} B=\left]-\frac{5}{2},\sqrt{5}\right[ \\ A=]-3,1], \hspace{30pt} B=]-2,2[, \hspace{30pt}  C=[-1,3]  \\ A=\{-2,0,1,3\}, \hspace{30pt} B=[-2,1], \hspace{30pt}  C=[-1,4]$$

Esercizi sulle potenze (teoria)

Calcolare le seguenti potenze:$$4^{\frac{3}{2}} \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \\ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \\ (\sqrt{3})^4 \\ 125^\frac{1}{3} \\ \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}$$

Riscrivere le seguenti espressioni come un'unica potenza: $$(a^2\cdot a)^3 \\ 3^2\cdot 9^\frac{1}{2} \\ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}} \\ x^\frac{1}{4}(x^2)^3 \\ \frac{x}{\sqrt{x}} \\ \frac{9^\frac{1}{4}}{3^{-\frac{1}{2}}} \\\frac{\sqrt[3]{2}\cdot 16:\sqrt{2}}{4^{-1}\cdot \sqrt{32}} \\ [(x^2)^2\cdot x^{-1}]\cdot[\sqrt[4]{x^3}:x^2] \\ \frac{a^3:\sqrt[3]{a}}{a^{-2}\cdot \sqrt{a^3}}$$ 

Esercizi sui monomi (teoria)

Riconoscere quali delle seguenti espressioni sono dei monomi e in caso affermativo stabilirne il grado: $$abc \\ x^2(y+1) \\ 3a^2bx^3 \\ \frac{xyz^4}{2} \\ (-2xy^2)^3 \\ 1 \\ 6x-12a^2.$$Svolgere, semplificando il più possibile, le seguenti operazioni tra monomi:$$6xy+3xy \\ 6xy\cdot 3xy\\ ax^3\cdot 4a^2b^3x \\ \frac{3}{2}abc^3-\frac{1}{3}abc^3 \\ (2a^2x^4)^3 \\2x^2+4x \\ 3y^3-\sqrt{3}y^3 \\ 4a^2b-ab\cdot 2a \\ \left(-\frac{1}{3}ab^2x^3\right)^4 \\ 8xy^4z^3:6y^2z \\ 2kg-\pi kg+ \frac{4}{7}kg$$

Esercizi sui polinomi (teoria)

Riconoscere quali delle seguenti espressioni sono dei polinomi e in caso affermativo stabilirne il grado: $$2a^2c+7b^3\\ x^2(y^3+1) \\ 2x^2-4x+6 \\ \frac{a+y+z^4}{2} \\ \frac{2}{x}-5yz^2 \\ 3x+4y \\ x^8-5x^2y^3z^4.$$Svolgere, semplificando il più possibile, le seguenti operazioni tra monomi:$$(x^3+4x^2y^2)-(x+4x^2y^2-1) \\ (2x+z^2)\cdot(xy-3z^3) \\ (x+2)^3 \\ (3x^3-4x^2+5x)+(x^3-4x^2+6x-3) \\ (2x+3y)^2 \\ (2x-1)\cdot (a^2b^2-2a+5b^3)\\ (2ab^3-ab+3b^2)+(a^2b^2+b^2+ab) \\ (x^3-2x^2+x-2)-(4x^2+4) \\ (a+b-c)^2 \\(x^2-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\ (2x^2+5xy-4y^2+6x-3y+1)+x(3x+2)$$Sviluppare i seguenti prodotti notevoli:$$(2x+3)^2\\ (-4y+x^3)^2\\ (2x+1)(1-2x) \\ (x-2)(x+2) \\ \left(x-\frac{1}{5}y\right)^2 \\ (-x^2y-z)^2 \\ (\sqrt{3}+5)(\sqrt{3}-5) \\ \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^2 \\ (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}-1) \\ (a^2-1)^2$$Fattorizzare i seguenti prodotti notevoli:$$100-x^4 \\ 4x^2+x+\frac{1}{16} \\ x^2-4x+4 \\ 4y^2-\frac{1}{4} \\ 9b^2 + 12ab + 4a^2 \\ x^6 +y^ 4+2x^3y^2 \\ x^2-2y^2 \\ 9x^2 - 6xy +y^2 \\ -x^4+2x^2-1 \\ x^2-2\sqrt{3}x+3$$

Equazioni e disequazioni (teoria)

Data la formula $$P=\frac{F}{S},$$scrivere le formule inverse per esplicitare \(F\) e \(S\). Un corpo avente superficie pari a \(20cm^2\) è sottoposto a una pressione di \(10N/cm^2\). Qual è la forza esercitata sul corpo?

Data la formula $$Q=S\cdot v,$$scrivere le formule inverse per esplicitare \(S\) e \(v\). Determinare la velocità di un fluido che scorre in un condotto di sezione \(S=0.2m^2\), sapendo che la portata è pari a \(Q= 2.5m^3/s\).

Data la formula $$P=m\cdot v,$$scrivere le formule inverse per esplicitare \(m\) e \(v\). Un proiettile viaggia alla velocità di \(150m/s\) e possiede una quantità di moto pari a \(P=0.12kgm/s\): trovare la massa del proiettile.

Data la formula $$E=k\frac{Q}{d^2},$$scrivere le formule inverse per esplicitare \(Q\) e \(d\). 

Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni di primo grado: $$2x+3=-x\\2x-3>-5\\3(7x-5)=15x-1\\4x+11\leq -1\\40+x=3(15+x)\\2x-3\geq 4x+5\\3x -9=-3\\11x+2>8x+8\\6(3x-1)=7(4x+2)$$Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni di secondo grado:$$x^2-12 = 0 \\ 9x^2+1<0 \\ (x-1)^2>0 \\ x^2-8x+16 = 0\\ -x^2+5 <0 \\ -x^2+2x+1 \geqslant 0 \\ -2x^2 = 0 \\ x^2-49+9>0 \\ x^2+3x-4 = 0 \\ x^2+6x\geqslant 0 \\x^2 -x-12=0\\ 9x^2+12x+4\geq0\\ 2x^2 -x-1=0\\ 9x^2+30x+25\leq 0\\ x^2 -x=0\\ 4x^2 -20x+25>0\\ –2x^2+x+1=0\\ 6x^2 -13x+6<0\\ 5x^2 -20x+28=0\\ 10x^2+29x+10\leq 0.$$Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni fratte:$$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}\\ \frac{x+2}{x+1}>0 \\ \frac{1}{x^2-1}=0 \\ \frac{3x^2+4}{x^2}\leqslant 0 \\ \frac{-1}{x}=1 \\ \frac{x^2-2x}{5-x^2}>0 \\ \frac{9-x^2}{2x^2-x-15}>0 \\ \frac{2x+1}{x^2}\leqslant 0 \\ \frac{x+1}{2-x}=1 \\ \frac{1}{x}>x \\ \frac{x^2-5}{x^2+5}<0 \\ \frac{x+1}{x+2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{2} \\ \frac{x^3-8}{x^4-1}>0$$Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo:$$x^3-3x^2+2x<0 \\ x^4+4x^2\geqslant 0 \\ x^4-x^2-12=0 \\ 2x^3-x^2-8x+4>0 \\ x^3-7x^2+4x+12=0 \\ 4x^3-8x^2-11x-3\leqslant 0 \\ 81x^4-16>0 \\ 81x^4+16<0 \\ 64-4x^3=0 \\ 8+2x^5<0 \\ x^6+2x^3+1>0 \\ \frac{27}{8}+x^3= 0 \\ x^3+4x^2-11x-30<0 \\ x^3-10x^2+8x+64\geqslant 0 \\ x^3+4x^2-11x-30 = 0 \\ 2x^3-x-1\leqslant 0\\ 2x^4-8=0 \\ \frac{x^5}{3}+81<0 \\ 1-16x^4\geqslant 0 \\ x^6+\pi = 0 \\ x^6>\pi$$

Funzioni (teoria qui qui)

Stabilire quali delle seguenti associazioni rappresentano delle funzioni, motivando la risposta. Specificare inoltre quali sono iniettive, quali suriettive e perché:

  • persona\(\mapsto\)peso
  • cantante\(\mapsto\)canzone
  • nazione\(\mapsto\)capitale
  • docente\(\mapsto\)corso
  • automobile\(\mapsto\)targa
  • persona\(\mapsto\)data di nascita (giorno e mese)

Per ciascuna delle funzioni rappresentate dai grafici sottostanti stabilire:

  • se sono iniettive
  • se sono suriettive
  • qual è l'immagine dell'intervallo \([-2,-1]\)
  • qual è la controimmagine dell'intervallo \([-1,1]\) (per questo e il punto precedente, non si chiedono valori numerici ma è sufficiente trovare gli intervalli richiesti nelle figure, dopo averle ricopiate approssimativamente sul quaderno)

Studiare dominio e segno delle seguenti funzioni: $$\frac{\ln x}{x} \\ xe^{x^2} \\ \sqrt{x-2} \\ \frac{x^2+1}{x} \\ (x^3-x)e^{x+1} \\ \ln(1-x^2).$$

Determinare l'immagine dell'intervallo \(]0,4]\) attraverso la funzione \(f(x)=\log_2 x\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \(]2,5[\) attraverso la funzione \(f(x)=x^4\).

Determinare l'immagine dell'intervallo \(]1,3]\) attraverso la funzione \(f(x)=-x^3\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \(]-2,2[\) attraverso la funzione \(f(x)=2^x\).

Determinare l'immagine dell'intervallo \(]0,e^3]\) attraverso la funzione \(f(x)=\log x\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \(]2,+\infty[\) attraverso la funzione \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).

Determinare l'immagine dell'intervallo \(]-1,3[\) attraverso la funzione \(f(x)=2x^2\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \(]-\infty,-1[\) attraverso la funzione \(f(x)=x^3\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \([0,4]\) attraverso la funzione \(f(x)=\log_2 x\).

Determinare la controimmagine dell'intervallo \(]2,5[\) attraverso la funzione \(f(x)=x^2+1\).

Esponenziali e logaritmi (teoria)

Calcolare i seguenti logaritmi: $$\log_2\frac{1}{16} \\ \ln\sqrt{e} \\ \log_4 1 \\ \log_\frac{1}{9}3 \\ \log_32 8 \\ \log_\sqrt{2}4 \\ \ln\frac{1}{e^3} \\ \log_{16}{8} \\ \ln\sqrt[5]{e} \\ \log_{\frac{1}{4}}64  \\ \log_{a^3}{\frac{1}{\sqrt{a}}}\\ \log_{a^2}a^5$$Semplificare le espressioni riducendole a un unico logaritmo e, se possibile, calcolarne il valore: $$\log_9 \frac{1}{4}+2\log_9 6 \\ \ln x^2-3\ln x \\ \log_2 x+ \log_4 x \\ \ln(3x)-\frac{1}{3}\ln x^2 \\ \log_{16} \sqrt{2}+\log_{16} 8 +\log_{16} \frac{1}{32} \\ \ln\frac{3}{4}+\ln\frac{4}{3} \\ 2\ln a-\log_a e \\ -\log_2\sqrt{2}+\log_{\frac{1}{2}}8-\log_8 16$$Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni contenti esponenziali e logaritmi: $$e^x>1 \\ \ln x\geqslant 0 \\ 9^{-2x}> \frac{1}{81} \\  \log_2(x^2+1)>0 \\ 9^{-2x}<-81 \\ \log_\frac{1}{3}(x+2)<27 \\ 4^{x^2-6}\geqslant 64 \\ \ln x^2=0 \\ e^{x^2-x}\leqslant 1 \\ \log_2 (2x+1)<-2 \\ 8^{1-3x}= 16 \\ \ln x+\ln (x+2)\geqslant 0\\  2^{\frac{1}{x^2+1}}>0 \\ \log_\frac{1}{3}(9x)<1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}<4 \\ 2\ln x+1>0 \\  \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2}<\frac{3}{2}  \\ \log(2x+3)+\log(x+1)>0 \\ \log_2^2x-3\log_2x\leqslant -2 \\ \left(\frac{1}{4}\right)^x+4\left(\frac{1}{2}\right)^x+4>0 \\ \frac{3^x-1}{4^x+1}=0 \\ \log_4(x^2-5x)=1 \\ \log_2(1-x^2)-1<0 \\ \ln(4x^2-3x)=0 \\ 8^{3x}=2^{x^2} \\ \left(\frac{1}{7}\right)^{x^2+x}>\frac{1}{49} \\ 9\cdot 3^x+\sqrt{3} = 0 \\  9\cdot 3^x+\sqrt{3} > 0 \\ 9\cdot 3^x+\sqrt{3} < 0 \\x^2\log_2(x+1)-\log_2(x+1)<0 \\ \frac{\ln(x^2+\frac{5}{2}x+1}{x^2-6x+8}\geqslant 0$$